Может ли значок быть не в формате ICO, а в каком-нибудь другом формате — например, в анимированном GIF?

     Да, может, если браузер поддерживает подобное. Для этого достаточно изменить MIME-тип и указать адрес GIF-файла:

<link rel="shortcut icon" href="адрес значка.gif" type="image/gif">

     Браузеры, которые понимают GIF-значки сайтов (например, Mozilla) будут демонстрировать анимацию в строке адреса, слева от URL, а также во всех остальных местах, где ими отображаются значки. Браузеры, которые не способны на такой подвиг (например, Microsoft Internet Explorer 6), просто не станут скачивать значок этого типа. Именно поэтому следует указывать тип.

Можно ли сделать так, чтобы значок был анимированным GIF там, где это возможно, а в остальных браузерах оставался неподвижным ICO-изображением?

      Да. Такой эффект будет достигнут, если указать два link-тега подряд, один за другим:

<link rel="shortcut icon" href="адрес значка.ico" type="image/x-icon">
<link rel="shortcut icon" href="адрес значка.gif" type="image/gif">

      Браузер всегда берёт последний из указанных значков — при том условии, что понимает тип значка. Таким образом, понимающие GIF возьмут GIF, остальные возьмут ICO. Этот трюк работает и со значками новомодных нестандартных форматов — таких, как MNG. Такие значки надо всегда указывать последними — а перед ними приводить, как минимум, ICO-версию.

      ICO-версия должна указываться всегда, поскольку значки других MIME-типов не пригодны для оформления ярлыков Microsoft Windows (URL-файлов), а это необходимо и на рабочем столе, и в других папках.